Regla de 3, Variación y Proporcionalidad
Regla de tres
La regla de tres simple directa es una relación que se establece entre tres valores conocidos y una incógnita, donde se puede establecer una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados (análogo para proporcionalidad inversa).
Normalmente se representa de la siguiente forma:
Siendo A, B y X valores conocidos e Y la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera:
A es a B como X es a Y
Donde conocemos ya la relación que existe entre las cantidades A y B, y queremos calcular Y dado que existe la misma relación entre X y Y.
Forma de operación
Como ya se ha comentado, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, despejando se obtiene que:
Es fácil ver que si X= 0 entonces Y= 0.
Ejemplo N°1
Así por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
Ubicamos la incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:
Donde π es el Número π.
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X.
Ejemplo N°2
Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:
El resultado es:
x=60 X 7 = 420 Minutos
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia.
1. Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de nafta, antes de viajar a Santa Fe por la autopista, llené el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volví a llenar el tanque de nafta. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de nafta. Sabiendo que la distancia entre Rosario y Santa Fe es de 160 km, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido?
2. Si el auto necesitó 15 litros de nafta para recorrer 160 km, y yo quiero averiguar cuántos kilómetros recorrió con cada litro, debo realizar el siguiente cálculo:
15 litros ________________ 160 km
1 litro ________________ X km
3. Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 160 y dividir el resultado por 15. El resultado es: 10,66 km por litro.
4. Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.? Solución
Si la legión necesita 1 día para recorres 35 km, para saber cuántos días le tomaría recorrer 1050 km debo realizar el siguiente cálculo:
35 km ________________ 1 día
1050 km ________________ X días
Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 1050 y dividir el resultado por 35. El resultado final es: 30 días.
5. En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilómetros de la Ciudad de San Carlos de Bariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin del último de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero ese traslado le toma 40 minutos, ¿cuánto tiempo demorá en llegar hasta arriba un grupo de 40 personas? Solución
6. Si a una persona le toma 40 minutos transitar los tres tramos de la aerosilla y a un contingente de 100 personas le insume 60 minutos realizar ese ascenso, debo considerar entonces que un grupo de 100 personas tiene una demora de 20 minutos respecto del ascenso individual (60-40). Luego tengo que averiguar cuál será la demora correspondiente a un grupo de 40 personas. Para ello, hago el siguiente cálculo:
100 personas ________________ 20 minutos
40 personas ________________ X minutos
7. Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 40 x 20 y dividir el resultado por 100. Esto me da por resultado 8 minutos de demora. Ahora bien, en el ejercicio no se me preguntaba por la demora sino por el tiempo total que insumiría a un grupo de 40 personas ascender por la aerosilla. Para responder eso, debo sumar a estos ocho minutos de demora los cuarenta que implica el ascenso individual. El resultado final es: 48 minutos.
8. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes. El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo? Solución
Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe $480 mensuales, para saber cuánto cobrará por trabajar 8 horas diarias debo realizar el siguiente cálculo:
6 horas ________________ $480
8 horas ________________ $X
Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 8 x 480 y dividir el resultado por 6. El resultado final es: $640.
Proporcionalidad
Cuando una razón se iguala a otra, se dice que existe proporcionalidad. Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.
Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.
Proporcionalidad directa
Si en una razón al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, se dice que la proporcionalidad es directa.
Ejemplo:
Dos albañiles construyen 24 m2 de muro al día.
Cuatro albañiles construyen 48 m2 de muro al día.
Esto se puede escribir de varias maneras:
1. Como tabla
No. de albañiles 2 4
Construcción en m2 24 48
2. Con dos puntos
24m2 : 2 albañiles
48m2 : 4 albañiles
(Lo anterior se lee: “24 es a 2 como 48 es a 4”)
3. Con numerador y denominador o división indicada
24/2
Si continuamos anotando en la tabla una mayor cantidad de albañiles y la cantidad de muro que construyen, podemos observar que las razones van creciendo proporcionalmente.
No. de albañiles 2 4 6 8
Construcción en m2 24 48 72 120
Podemos ver en la tabla anterior que existe una relación proporcional directa: 2 albañiles construyen 24 m2, 6 albañiles construyen 72 m2.
Esto se escribe de la siguiente manera:
24/2 = 72/6
Al haber más albañiles, se construyen más metros cuadrados.
Proporcionalidad inversa
Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye se habla de proporcionalidad inversa.
Ejemplo:
Un pintor puede resanar y pintar 240 m2 en 6 días
Dos pintores harán el mismo trabajo en 3 días
Mientras más pintores haya, menos tiempo tardan en hacer este trabajo.
Esto se puede escribir de varias maneras
1. Como tabla
Número de pintores 1 2
Tiempo necesario en días 6 3
2. Con dos puntos
1:6 : 2:3
(Lo anterior se lee “uno es a seis como dos es a tres”)
3. Como fracciones o división señalada.
Problemas de proporcionalidad
Los problemas pueden ser de proporcionalidad directa o inversa.
El primer paso para resolverlos es que usted lo lea y observe si se trata de una proporción directa (al aumentar un número, aumenta el otro) o inversa (al aumentar un valor, disminuye el otro).
Anote los datos en forma de razones, como se muestra en los ejemplos.
Observe en los ejemplos cómo la forma de resolver es diferente si la proporción es directa o inversa.
Problemas de proporcionalidad directa
Si un kilo de pistaches cuesta 120, pesos y usted quiere comprar 46 pesos, ¿cuánto le deben despachar?
Usted ya conoce una razón. Por 120 pesos recibe 1000 gramos (o sea un kilo).
De la segunda razón usted conoce solamente un dato: que quiere 46 pesos.
Esto se escribe así:
Para resolverlo, se multiplica 1000 X 46 y se divide entre 120.
1000 X 46
--------------
120
El resultado es 383.33.
Problemas de proporcionalidad inversa
Si cuatro personas tardan ocho días en aplanar un terreno, ¿cuántas personas se necesitan para hacerlo en dos días?
Recordemos que en la proporción inversa esperamos que, al aumentar un número, disminuya el otro: es decir, con más trabajadores se realiza en menor tiempo la misma labor.
Para resolverlo, se multiplica 8 X 2 y se divide entre 4.
8 X 4
-------
2
El resultado es 16. Es decir, se necesitan 16 personas para realizar este trabajo en cuatro días.
Razón
A la relación que existe entre dos cantidades se le conoce como razón.
Por lo regular representa el número de veces que una cantidad está contenida en otra. Las razones se pueden representar por dos puntos o un cociente.
Por ejemplo, si se dice que un automóvil se desplaza a 60 km/h y que la de una bicicleta es de 20 km/h, su razón será de 3, porque la velocidad de un automóvil contiene tres veces la de la bicicleta.
La razón se puede plantear de la siguiente manera:
60 km/h del auto es a 20 km/h de la bicicleta.
Esto se representa como 60:20, o bien como 60/20.
Esta relación también podría haber sido 30/10, 9/3, 90/30 o 12/4, ya que todas estas fracciones son equivalentes a 3.
Cuando una razón se igual a otra, se dice que existe proporcionalidad
La regla de tres simple directa es una relación que se establece entre tres valores conocidos y una incógnita, donde se puede establecer una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados (análogo para proporcionalidad inversa).
Normalmente se representa de la siguiente forma:
Siendo A, B y X valores conocidos e Y la incógnita cuyo valor queremos averiguar. Esto se lee de la siguiente manera:
A es a B como X es a Y
Donde conocemos ya la relación que existe entre las cantidades A y B, y queremos calcular Y dado que existe la misma relación entre X y Y.
Forma de operación
Como ya se ha comentado, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
Donde k es la constante de proporcionalidad, despejando se obtiene que:
Es fácil ver que si X= 0 entonces Y= 0.
Ejemplo N°1
Así por ejemplo para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:
Ubicamos la incógnita en la primera posición:
Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemos que:
Donde π es el Número π.
Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al producto de los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X.
Ejemplo N°2
Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:
El resultado es:
x=60 X 7 = 420 Minutos
Como se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puede establecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen. Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentido común y la experiencia.
1. Para averiguar cuántos kilómetros recorría mi auto con un litro de nafta, antes de viajar a Santa Fe por la autopista, llené el tanque. Al llegar a la capital de la provincia volví a llenar el tanque de nafta. Para hacerlo tuve que cargar quince litros de nafta. Sabiendo que la distancia entre Rosario y Santa Fe es de 160 km, ¿cuántos kilómetros recorrió mi auto por cada litro de combustible consumido?
2. Si el auto necesitó 15 litros de nafta para recorrer 160 km, y yo quiero averiguar cuántos kilómetros recorrió con cada litro, debo realizar el siguiente cálculo:
15 litros ________________ 160 km
1 litro ________________ X km
3. Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 160 y dividir el resultado por 15. El resultado es: 10,66 km por litro.
4. Cuando las legiones del ejército romano debían desplazarse hacia algún punto del Imperio —para imponer el orden o defender las fronteras— recorrían unos 35 km por día. Hay que tener en cuenta que casi todos los hombres viajaban a pie y cargando sus armas. ¿Cuántos días les tomaba a estos legionarios recorrer una distancia de 1050 km.? Solución
Si la legión necesita 1 día para recorres 35 km, para saber cuántos días le tomaría recorrer 1050 km debo realizar el siguiente cálculo:
35 km ________________ 1 día
1050 km ________________ X días
Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 1 x 1050 y dividir el resultado por 35. El resultado final es: 30 días.
5. En las aerosillas del Cerro Catedral, a unos pocos kilómetros de la Ciudad de San Carlos de Bariloche, trasladar a un contingente de 100 personas desde la base del Cerro hasta el fin del último de sus tres tramos insume unos 60 minutos. Teniendo en cuenta que a un pasajero ese traslado le toma 40 minutos, ¿cuánto tiempo demorá en llegar hasta arriba un grupo de 40 personas? Solución
6. Si a una persona le toma 40 minutos transitar los tres tramos de la aerosilla y a un contingente de 100 personas le insume 60 minutos realizar ese ascenso, debo considerar entonces que un grupo de 100 personas tiene una demora de 20 minutos respecto del ascenso individual (60-40). Luego tengo que averiguar cuál será la demora correspondiente a un grupo de 40 personas. Para ello, hago el siguiente cálculo:
100 personas ________________ 20 minutos
40 personas ________________ X minutos
7. Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 40 x 20 y dividir el resultado por 100. Esto me da por resultado 8 minutos de demora. Ahora bien, en el ejercicio no se me preguntaba por la demora sino por el tiempo total que insumiría a un grupo de 40 personas ascender por la aerosilla. Para responder eso, debo sumar a estos ocho minutos de demora los cuarenta que implica el ascenso individual. El resultado final es: 48 minutos.
8. Un empleado que trabaja 6 horas diarias recibe como salario $480 por mes. El dueño de la fábrica le ha comunicado que la empresa aumentará su horario de trabajo en 2 horas diarias. ¿Cuál será a partir de ahora su sueldo? Solución
Si por 6 horas diarias de trabajo el empleado recibe $480 mensuales, para saber cuánto cobrará por trabajar 8 horas diarias debo realizar el siguiente cálculo:
6 horas ________________ $480
8 horas ________________ $X
Como se trata de una regla de tres simple, debo multiplicar 8 x 480 y dividir el resultado por 6. El resultado final es: $640.
Proporcionalidad
Cuando una razón se iguala a otra, se dice que existe proporcionalidad. Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.
Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.
Proporcionalidad directa
Si en una razón al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, se dice que la proporcionalidad es directa.
Ejemplo:
Dos albañiles construyen 24 m2 de muro al día.
Cuatro albañiles construyen 48 m2 de muro al día.
Esto se puede escribir de varias maneras:
1. Como tabla
No. de albañiles 2 4
Construcción en m2 24 48
2. Con dos puntos
24m2 : 2 albañiles
48m2 : 4 albañiles
(Lo anterior se lee: “24 es a 2 como 48 es a 4”)
3. Con numerador y denominador o división indicada
24/2
Si continuamos anotando en la tabla una mayor cantidad de albañiles y la cantidad de muro que construyen, podemos observar que las razones van creciendo proporcionalmente.
No. de albañiles 2 4 6 8
Construcción en m2 24 48 72 120
Podemos ver en la tabla anterior que existe una relación proporcional directa: 2 albañiles construyen 24 m2, 6 albañiles construyen 72 m2.
Esto se escribe de la siguiente manera:
24/2 = 72/6
Al haber más albañiles, se construyen más metros cuadrados.
Proporcionalidad inversa
Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye se habla de proporcionalidad inversa.
Ejemplo:
Un pintor puede resanar y pintar 240 m2 en 6 días
Dos pintores harán el mismo trabajo en 3 días
Mientras más pintores haya, menos tiempo tardan en hacer este trabajo.
Esto se puede escribir de varias maneras
1. Como tabla
Número de pintores 1 2
Tiempo necesario en días 6 3
2. Con dos puntos
1:6 : 2:3
(Lo anterior se lee “uno es a seis como dos es a tres”)
3. Como fracciones o división señalada.
Problemas de proporcionalidad
Los problemas pueden ser de proporcionalidad directa o inversa.
El primer paso para resolverlos es que usted lo lea y observe si se trata de una proporción directa (al aumentar un número, aumenta el otro) o inversa (al aumentar un valor, disminuye el otro).
Anote los datos en forma de razones, como se muestra en los ejemplos.
Observe en los ejemplos cómo la forma de resolver es diferente si la proporción es directa o inversa.
Problemas de proporcionalidad directa
Si un kilo de pistaches cuesta 120, pesos y usted quiere comprar 46 pesos, ¿cuánto le deben despachar?
Usted ya conoce una razón. Por 120 pesos recibe 1000 gramos (o sea un kilo).
De la segunda razón usted conoce solamente un dato: que quiere 46 pesos.
Esto se escribe así:
Para resolverlo, se multiplica 1000 X 46 y se divide entre 120.
1000 X 46
--------------
120
El resultado es 383.33.
Problemas de proporcionalidad inversa
Si cuatro personas tardan ocho días en aplanar un terreno, ¿cuántas personas se necesitan para hacerlo en dos días?
Recordemos que en la proporción inversa esperamos que, al aumentar un número, disminuya el otro: es decir, con más trabajadores se realiza en menor tiempo la misma labor.
Para resolverlo, se multiplica 8 X 2 y se divide entre 4.
8 X 4
-------
2
El resultado es 16. Es decir, se necesitan 16 personas para realizar este trabajo en cuatro días.
Razón
A la relación que existe entre dos cantidades se le conoce como razón.
Por lo regular representa el número de veces que una cantidad está contenida en otra. Las razones se pueden representar por dos puntos o un cociente.
Por ejemplo, si se dice que un automóvil se desplaza a 60 km/h y que la de una bicicleta es de 20 km/h, su razón será de 3, porque la velocidad de un automóvil contiene tres veces la de la bicicleta.
La razón se puede plantear de la siguiente manera:
60 km/h del auto es a 20 km/h de la bicicleta.
Esto se representa como 60:20, o bien como 60/20.
Esta relación también podría haber sido 30/10, 9/3, 90/30 o 12/4, ya que todas estas fracciones son equivalentes a 3.
Cuando una razón se igual a otra, se dice que existe proporcionalidad
